题目内容
【题目】已知抛物线的准线为
,焦点为
,
为坐标原点.
(1)求过点,且与
相切的圆的方程;
(2)过的直线交抛物线
于
两点,
关于
轴的对称点为
,求证:直线
过定点.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)圆过
可得
,圆
与直线
相切,可得
.
由,得
.从而得圆的方程.
(2)联立方程可得韦达定理:
,
.
表示直线的方程为
,由对称性可令
,得
化简整理可得直线
过定点
.
试题解析:解法一:(1)抛物线的准线
的方程为:
,焦点坐标为
,
设所求圆的圆心,半径为
,
圆
过
,
,
圆
与直线
相切,
.
由,得
.
过
,且与直线
相切的圆的方程为
.
(2)依题意知直线的斜率存在,设直线
方程为
,
,
,
,
,
联立,消去
得
.
,
.
直线
的方程为
,
令
,得
.
直线过定点
,
解法二:(1)同解法一.
(2)直线过定点
.
证明:依题意知直线的斜率存在,设直线
方程为
,
,
,
,
,
联立,消去
得
,
,
.
,
.
,即
,
三点共线,
直线
过定点
.
解法三:(1)同解法一.
(2)设直线的方程:
,
,
,则
.
由得,
.
,
.
,
直线
的方程为
.
.
直线
过定点
.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.
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