题目内容
【题目】已知抛物线
的准线为
，焦点为
， 
为坐标原点.
（1）求过点
，且与
相切的圆的方程；
（2）过
的直线交抛物线
于
两点， 
关于
轴的对称点为
，求证：直线
过定点.
【答案】（1）
;（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）圆
过
可得
，圆
与直线
相切，可得
.
由
，得
.从而得圆的方程.
（2）联立
方程可得韦达定理： 
， 
.
表示直线
的方程为
，由对称性可令
，得
化简整理可得直线
过定点
.
试题解析：解法一：（1）抛物线
的准线
的方程为： 
，焦点坐标为
，
设所求圆的圆心
，半径为
， 
圆
过
， 
，
圆
与直线
相切， 
.
由
，得
.
过
，且与直线
相切的圆的方程为
.
（2）依题意知直线
的斜率存在，设直线
方程为
，
， 
， 
， 
，
联立
，消去
得
.
， 
.
直线
的方程为
，
令
，得
.
直线
过定点
,
解法二：（1）同解法一.
（2）直线
过定点
.
证明：依题意知直线
的斜率存在，设直线
方程为
，
， 
， 
， 
，
联立
，消去
得
，
， 
.
，
.
，即
， 
三点共线， 
直线
过定点
.
解法三：（1）同解法一.
（2）设直线
的方程： 
， 
， 
，则
.
由
得， 
.
， 
.
， 
直线
的方程为
.
.
直线
过定点
.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
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