题目内容

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数，e=2.71828…）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）讨论关于x的方程 $数学公式$ 的根的个．

解：（Ⅰ）由f（x）=ln（e^x+a）是R的奇函数，则f（-x）=-f（x），
不妨去x=0，可得f（0）=ln（e⁰+a）=0，解得a=0．…..…..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=lne^x=x，故 $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
当x∈（0，e）时， $\text{[math]}$ ，∴f₁（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈[e，+∞）时， $\text{[math]}$ ，∴f₁（x）在[e，+∞）上为减函数；
当x=e时， $\text{[math]}$ ，…．…..（8分）
而 $\text{[math]}$ ，结合函数图象可知：
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，方程无解；
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，方程有一个根x=e；
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，方程有两个根．…..…..…．（12分）
分析：（Ⅰ）由奇函数的性质可得f（-x）=-f（x），令x=0代入可得a值；
（Ⅱ）代入可得 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，求导数可得函数f₁（x）的单调性，进而得最大值，配方可得 $\text{[math]}$ ，结合函数图象可知得结论．
点评：本题考查函数的奇偶性和根的存在性及个数的判断，属中档题．

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