题目内容
已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数,e=2.71828…)是R上的奇函数.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)讨论关于x的方程
的根的个.
解:(Ⅰ)由f(x)=ln(ex+a)是R的奇函数,则f(-x)=-f(x),
不妨去x=0,可得f(0)=ln(e0+a)=0,解得a=0.…..…..(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=lnex=x,故
,
令
,则
,
当x∈(0,e)时,
,∴f1(x)在(0,e]上为增函数;
当x∈[e,+∞)时,
,∴f1(x)在[e,+∞)上为减函数;
当x=e时,
,….…..(8分)
而
,结合函数图象可知:
当
,即
时,方程无解;
当
,即
时,方程有一个根x=e;
当
,即
时,方程有两个根.…..…..….(12分)
分析:(Ⅰ)由奇函数的性质可得f(-x)=-f(x),令x=0代入可得a值;
(Ⅱ)代入可得
,令
,求导数可得函数f1(x)的单调性,进而得最大值,配方可得
,结合函数图象可知得结论.
点评:本题考查函数的奇偶性和根的存在性及个数的判断,属中档题.
不妨去x=0,可得f(0)=ln(e0+a)=0,解得a=0.…..…..(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=lnex=x,故

令


当x∈(0,e)时,

当x∈[e,+∞)时,

当x=e时,

而

当


当


当


分析:(Ⅰ)由奇函数的性质可得f(-x)=-f(x),令x=0代入可得a值;
(Ⅱ)代入可得



点评:本题考查函数的奇偶性和根的存在性及个数的判断,属中档题.

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