Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数，e=2.71828…）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）讨论关于x的方程的根的个．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（x）=ln（e^x+a）是R的奇函数，则f（-x）=-f（x），
不妨去x=0，可得f（0）=ln（e⁰+a）=0，解得a=0．…..…..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=lne^x=x，故，
令，则，
当x∈（0，e）时，，∴f₁（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈[e，+∞）时，，∴f₁（x）在[e，+∞）上为减函数；
当x=e时，，…．…..（8分）
而，结合函数图象可知：
当，即时，方程无解；
当，即时，方程有一个根x=e；
当，即时，方程有两个根．…..…..…．（12分）
分析：（Ⅰ）由奇函数的性质可得f（-x）=-f（x），令x=0代入可得a值；
（Ⅱ）代入可得，令，求导数可得函数f₁（x）的单调性，进而得最大值，配方可得，结合函数图象可知得结论．
点评：本题考查函数的奇偶性和根的存在性及个数的判断，属中档题．