题目内容
(本小题满分12分)把正奇数列中的数按上小下大,左小右大的原则排列成如图“三角形”所示的数表.设是位于这个三角形数表中从上往下数第行,从左向右数第个数.
(1)若,求的值;
(2)已知函数的反函数为,),若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为.
①求数列的前项的和.
②令设的前项之积为
,求证:
【答案】
(1) m=45,n=15
(2)
【解析】(1)∵,∴2009是正奇数列的第1005个数.
前行共有个数,
前行共有个数.
∴.
前44行共有个数.故.
(2)①由,得.
∵第行第1个数为,
∴,∴.
∴.
.
两式相减,得,
∴.
②,
即证:.
先证:.
1°时,显然成立.
2°假设时,.
则时,
,即当时,也成立.
由1°2°知成立.
从而
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