Question

已知点（1，1）是椭圆

x2

4

+

y2

2

=1某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：

x+2y-3=0

．

Answer 1

分析：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），A（1，1）为EF中点，x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，利用点差法能够求出以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程．

解答：解：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∵A（1，1）为EF中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）分别代入椭圆

x2

4

+

y2

2

=1，
可得

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1
两式相减，可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y-1=-

1

2

（x-1），
整理，得x+2y-3=0．
故答案为：x+2y-3=0．

点评：本题考查以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．