题目内容


如图,四边形OABC为矩形,点A、C的坐标分别为(a+1,0)(a>1)、(0,1),点D在OA上,坐标为(a,0),椭圆C分别以OD、OC为长、短半轴,CD是椭圆在矩形内部的椭圆弧.已知直线l:y=-x+m与椭圆弧相切,且与AD相交于点E.
(Ⅰ)当m=2时,求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)圆M在矩形内部,且与l和线段EA都相切,若直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分,求圆M面积的最大值.

【答案】分析:(1)设椭圆的方程为.由得(1+a2)x2-2a2mx+a2(m2-1)=0.由于直线l与椭圆相切,知△=(2a2m)2-4(1+a2)a2(m2-1)=0,由此能求出椭圆C的标准方程.
(2)由题意知A(a+1,0),B(a+1,1),C(0,1),于是OB的中点为.因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分,所以l过点,由此入手,能够求出圆M面积的最大值.
解答:解:(1)设椭圆的方程为.k•s5•u
消去y得(1+a2)x2-2a2mx+a2(m2-1)=0.(3分)
由于直线l与椭圆相切,∴△=(2a2m)2-4(1+a2)a2(m2-1)=0,
化简得m2-a2=1,①
当m=2时,a2=3,
则椭圆C的标准方程为.(6分)
(2)由题意知A(a+1,0),B(a+1,1),C(0,1),于是OB的中点为
因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分,所以l过点
,亦即2m-a=2.②
由①②解得,故直线l的方程为.(9分)

因为圆M与线段EA相切,所以可设其方程为(x-x2+(y-r)2=r2(r>0).
因为圆M在矩形及其内部,所以
圆M与l相切,且圆M在l上方,所以,即
代入④得
所以圆M面积最大时,,这时,圆M面积的最大值为.(15分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
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