Question

已知f(x)=log2(1+x4)-

1+mx

1+x2

（x∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求实常数m的值，并给出函数f（x）的单调区间（不要求证明）；
（Ⅱ）k为实常数，解关于x的不等式：f（x+k）＞f（|3x+1|）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由偶函数的定义，取特殊值得关于m的方程f（-1）=f（1），解得m=0，最后检验所求出的值符合题意；
（Ⅱ）根据函数的单调性，将欲求解的不等式转化为|x+k|＞|3x+1|，等价于不等式（x+k）²＞（3x+1）²的求解，再根据相应方程根的情况讨论k值，从而得出不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：f(-1)=1-

1-m

2

，f(1)=1-

1+m

2

函数为偶函数，所以f（-1）=f（1），解得m=0
检验：当m=0时，f(x)=log2(1+x4)-

1

1+x2

，f（-x）=f（x）成立，函数为偶函数
函数在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数
（Ⅱ）由（1）的单调性，可得f（x+k）＞f（|3x+1|）等价于x+k＞|3x+1|≥0或x+k＜-|3x+1|＜0，
转化为（x+k）²＞（3x+1）²成立，因式分解为（4x+k+1）（2x-k+1）＜0
讨论①当k=

1

3

时，不等式的解集为空集；
②当k＜

1

3

时，

k-1

2

＜

-k-1

4

，不等式的解集为（

k-1

2

，

-k-1

4

）；
③当k＞

1

3

时，

k-1

2

＞

-k-1

4

，不等式的解集为（

-k-1

4

，

k-1

2

）
综上所述，当k=

1

3

时，不等式的解集为空集；当k＜

1

3

时，不等式的解集为（

k-1

2

，

-k-1

4

）；
当k＞

1

3

时，不等式的解集为（

-k-1

4

，

k-1

2

）．

点评：考查了函数的单调性与奇偶性，同时考查了含有参数的不等式的求解，属于中档题．