题目内容
已知函数f(x)=
是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(
)=
.
(1)试求出函数f(x)的解析式;
(2)证明函数在定义域内是单调增函数.
ax+b |
1+x2 |
1 |
2 |
2 |
5 |
(1)试求出函数f(x)的解析式;
(2)证明函数在定义域内是单调增函数.
分析:(1)根据函数f(x)=
是定义在(-1,1)上的奇函数,可得f(0)=0,结合f(
)=
,可求出a,b值,进而得到函数f(x)的解析式;
(2)直接利用函数单调性的定义进行证明,设在(-1,1)上任取两个数x1,x2,且x1>x2,然后判定f(x1)-f(x2)的符号,从而得到结论.
ax+b |
1+x2 |
1 |
2 |
2 |
5 |
(2)直接利用函数单调性的定义进行证明,设在(-1,1)上任取两个数x1,x2,且x1>x2,然后判定f(x1)-f(x2)的符号,从而得到结论.
解答:解:(1)∵函数f(x)=
是定义在(-1,1)上的奇函数,
∴f(0)=0,即b=0
又∵f(
)=
,∴
=
,解得a=1
∴f(x)=
.
(2)任取任取两个数x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
<0
因为x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
∴x1-x2<0,1+x12>0,1+x22>0,1-x1•x2>0
则f(x1)<f(x2)
故函数f(x)=
在(-1,1)上单调递增
ax+b |
1+x2 |
∴f(0)=0,即b=0
又∵f(
1 |
2 |
2 |
5 |
| ||
1+
|
2 |
5 |
∴f(x)=
x |
1+x2 |
(2)任取任取两个数x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
x1 |
1+x12 |
x2 |
1+x22 |
(x1-x2)(1-x1•x2) |
(1+x12)(1+x22) |
因为x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
∴x1-x2<0,1+x12>0,1+x22>0,1-x1•x2>0
则f(x1)<f(x2)
故函数f(x)=
ax+b |
1+x2 |
点评:本题主要考查了函数奇偶性的性质,函数单调性的证明,解题的关键是化简判定符号,同时考查了运算求解的能力,属于基础题.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=a-
,若f(x)为奇函数,则a=( )
1 |
2x+1 |
A、
| ||
B、2 | ||
C、
| ||
D、3 |