Question

【题目】设a,b,c是△ABC的三边,P: , Q:方程x2 +2ax+b2 = 0与方程x2 +2cx－b2 = 0有公共根. 则P是Q的_____.(填：充分不必要条件,必要而不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件)

Answer 1

【答案】充要条件

【解析】

要从充分性和必要性两个方面进行分析，充分性，即假设A＝90°成立判断两个方程是否有公共根，必要性，设两个方程公共根为m，判断A＝90°是否成立，分析两个方面即可得结论．

充分性：当A＝90°时，a2＝b2+c2．

于是x2+2ax+b2＝0x2+2ax+a2﹣c2＝0[x+（a+c）][x+（a﹣c）]＝0，

该方程有两根x1＝﹣（a+c），x2＝﹣（a﹣c）．

同样，x2+2cx﹣b2＝0[x+（c+a）][x+（c﹣a）]＝0，

该方程亦有两根x3＝﹣（c+a），x4＝﹣（c﹣a）．

显然x1＝x3，两方程有公共根，即充分性成立；

必要性：设方程x2+2ax+b2＝0与x2+2cx﹣b2＝0的公共根为m，

则

（1）+（2）得m＝﹣（a+c）．（m＝0舍去）．

将m＝﹣（a+c）代入（1）式，得[﹣（a+c）]2+2a[﹣（a+c）]+b2＝0，

整理得a2＝b2+c2．所以A＝90°，即必要性成立；

故答案为：充要条件.