Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣lnx，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）在点 （1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为 ，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）当x∈（0，+∞）时，求证：e2x3﹣2x＞2（x+1）lnx．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=x2﹣lnx的导数为f′（x）=2x﹣ ，

函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2﹣1=1，

切点为（1，1），可得切线方程为y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0

（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数为f′（x）= ，

当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）为减函数，无最小值；

当a＞0时，在（0， ）上，f′（x）＜0；在（ ，+∞）上，f′（x）＞0．

所以当x= 处取得极小值，也为最小值 ﹣ln ，

令 ﹣ln = ，解得a= e2，

则存在实数a= e2，使f（x）的最小值为

（3）解：证明：由（2）得当x＞0时， e2x2﹣lnx≥ ，

可令g（x）= +1，则g′（x）= ，

当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0．

则x=e处，g（x）取得最大值g（e）=1+ ，

且1+ ＜1+ = ，

则 e2x2﹣lnx＞ +1，

即e2x3﹣2x＞2（x+1）lnx

【解析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，求出切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，求出单调区间，求得最小值，解方程可得a的值；（3）由（2）得当x＞0时， e2x2﹣lnx≥ ，可令g（x）= +1，求出导数，单调区间，可得最大值，即可得证．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．