Question

（2012•黄冈模拟）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为

2

+1．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）结合已知

e= c a = 2 2 a+c=1+ 2

，可求a，c，由b²=a²-c²可求b，进而可求椭圆方程
（2）由题意可知0≤m＜1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），代入

x2

2

+y2=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，根据y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），从而可求B的中点为M，由|AC|=|BC|可得k_CM•k_AB=-1可得m，k之间得关系，结合m的范围可求k

解答：解：（1）因为

e= c a = 2 2 a+c=1+ 2

，所以a=

2

，c=1，（4分）
∴b=1，椭圆方程为：

x2

2

+y2=1                 （6分）
（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m＜1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），
代入

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

  ①，（10分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

2k2+1

设AB的中点为M，则M（

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

），
∵|AC|=|BC|
∴CM⊥AB即k_CM•k_AB=-1
∴

4k2

1+2k2

-2m+

-2k

2k2+1

•k=0
∴（1-2m）k²=m
∴当0≤m＜

1

2

时，k=±

m 1-2m

，即存在这样的直线l
当

1

2

≤m≤1，k不存在，即不存在这样的直线l           （15分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，直线的斜率公式的应用．属于知识的综合应用．