题目内容
（2013•丰台区一模）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（ ）
分析：由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．
解答：解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得
，
由x+y=xy得：x+y=xy≤(
)2=
，
解得：x+y≥4．
再由x+y=xy得：y=
（x≠1）．
设x1＞x2＞1，
则f(x1)-f(x2)=
-
=
=
．
因为x1＞x2＞1，
所以x2-x10，x2-1＞0．
则
＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，
综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．
故选C．
|
由x+y=xy得：x+y=xy≤(
| x+y |
| 2 |
| (x+y)2 |
| 4 |
解得：x+y≥4．
再由x+y=xy得：y=
| x |
| x-1 |
设x1＞x2＞1，
则f(x1)-f(x2)=
| x1 |
| x1-1 |
| x2 |
| x2-1 |
| x1x2-x1-x2x1+x2 |
| (x1-1)(x2-1) |
| x2-x1 |
| (x1-1)(x2-1) |
因为x1＞x2＞1，
所以x2-x10，x2-1＞0．
则
| x2-x1 |
| (x1-1)(x2-1) |
所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，
综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．
故选C．
点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．
练习册系列答案
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