Question

17、已知函数f（x）=2^x+2^-x
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性； 
（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（I）利用函数的奇偶性的定义判断即可．
（II）求出函数的导数，通过导数值的符号，说明函数在（0，+∞）的是增函数还是减函数．

解答：解：（I）因为函数f（x）=2^x+2^-x
易得其定义域为R，且f（-x）=2^-x+2^x=f（x），所以函数是偶函数；
（II）函数f（x）=2^x+2^-x．
∵求导得：f′（x）=2^xln2-2^-xn2=ln2（2^x-2^-x），
当 x≥0时，x≥-x，2^x-2^-x≥0则ln2（2^x-2^-x）≥0，
所以函数在（0，+∞）的是增函数．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，指数函数的单调性与特殊点，导数的应用，考查计算能力，是基础题．