Question

如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC，设点F为棱AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求直线BF与平面ACD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）在图甲中，由AB=BD，且∠A=45°，知∠ADB=45°，AB⊥BD．在图乙中，由平面ABD⊥平面BDC，知AB⊥底面BDC，由此能够证明DC⊥平面ABC．
（2）作BE⊥AC，垂足为E．由平面ABC⊥平面ACD，知BF⊥平面ADC，故∠AFE即为直线BF与平面ACD所成角，由此能求出直线BF与平面ACD所成角的余弦值．

解答：（本小题满分14分）
（1）证明：在图甲中∵AB=BD，且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，
即AB⊥BD，
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，
∴DC⊥平面ABC．   …（7分）
（2）解：作BE⊥AC，垂足为E．
由（1）知平面ABC⊥平面ACD，又平面ABC∩平面ACD=AC，∴BF⊥平面ADC，
∴∠AFE即为直线BF与平面ACD所成角
设CD=a，得AB=BD=2a，BC=

3

a，AC=

7

a
∴BE=

2 3

7

a，BF=

2

a，FE=

2

14

a，
∴cos∠BFE=

2 14 a

2 a

=

7

7

，
∴直线BF与平面ACD所成角的余弦值为

7

7

．…..（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．