题目内容

如图,在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠ABC=90°,∠BCD=135°,沿对角线AC将此四边形折成直二面角.
(1)求证:AB⊥平面BCD
(2)求三棱锥D-ABC的体积
(3)求点C到平面ABD的距离.

解:(1)∵△ABC中,AB=BC=a,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠ACB=45°
∴∠ACD=135°-45°=90°,得AC⊥CD
∵二面角B-AC-D为直二面角
∴平面ACD⊥平面ABC
∵CD⊥AC,平面ACD∩平面ABC=AC,∴DC⊥平面ABC
∵AB⊆平面ABC,∴CD⊥AB
又∵AB⊥BC,BC、CD是平面BCD内的相交直线
∴AB⊥平面BCD
(2)由(1)知DC⊥平面ABC,故DC是三棱角D-ABC的高
∵Rt△ABC的面积S=AB×BC=a2
∴三棱锥D-ABC的体积V=Sh=×a2×DC=a3
(3)设点C到平面ABD的距离为h
Rt△ABD中,BD==
由VC-ABD=VD-ABC,得××AB×BD×h=a3
∴h=a
分析:(1)由平面几何知识,不难算出∠ACD=90°,从而AC⊥CD.因为二面角B-AC-D为直二面角,结合CD⊥AC,可得DC⊥平面ABC,得到CD⊥AB,最后根据线面垂直的判定定理,得到AB⊥平面BCD;
(2)利用等腰三角形ABC作为底面,CD为高,不难用锥体体积公式求出三棱锥D-ABC的体积;
(3)设点C到平面ABD的距离为h,根据三棱锥C-ABD的体积等于三棱锥D-ABC的体积,建立等式并代入题中的数据,解之即可求出点C到平面ABD的距离.
点评:本题以平面翻折问题为例,证明了线面垂直并求几何体的体积,着重考查了线面垂直的判定与性质、点到平面距离的求法和锥体体积公式等知识,属于基础题.
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