Question

用数学归纳法证明：l³+2³+3³+…+n³=

n2+(n+1)2

4

（n∈N^﹡）．

Answer 1

分析：应用数学归纳法证明问题，①验证n=1时命题成立；②假设n=k时，命题成立，从假设出发，经过推理论证，证明n=k+1时也成立，从而证明命题正确．

解答：证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，∴n=1时，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即13+23+33++k3=

1

4

k2(k+1)2
1³+2³+3³++k³+（k+1）³
=

1

4

k2(k+1)2+(k+3)3=

1

4

(k+1)2[k2+4(k+1)]=

1

4

(k+1)2[(k+1)+1]2
∴n=k+1时，等式成立．
综合①、②原等式获证．

点评：考查数学归纳法证明有关正整数命题的方法步骤，特别是②是关键，是核心，也是数学归纳法证明命题的难点所在，属基础题．