题目内容
设函数f(x)=x2ex-1-
x3-x2(x∈R),
(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求y=f(x)在[-l,2]上的最小值;
(Ⅲ)当x∈(1,+∞)时,用数学归纳法证明:
n∈N*,ex-1>
。

(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求y=f(x)在[-l,2]上的最小值;
(Ⅲ)当x∈(1,+∞)时,用数学归纳法证明:


解:(Ⅰ)
,
令
,可得
,

函数y=f(x)的增区间为(-2,0)和(1,+∞),减区间为(-∞,-2)和(0,1)。
(Ⅱ)当
时,
,
,
,
所以,f(x)在
上的最小值为
。
(Ⅲ)设
,
当n=1时,只需证明
,
当
时,
,
所以,
在
上是增函数,
∴
,即
,
当
时,假设n=k时不等式成立,
即
,
当n=k+1时,
因此,
,
所以,
在
上是增函数,
所以,
,
即当n=k+1时,不等式成立,
所以,当
时,
。


令



函数y=f(x)的增区间为(-2,0)和(1,+∞),减区间为(-∞,-2)和(0,1)。
(Ⅱ)当




所以,f(x)在


(Ⅲ)设

当n=1时,只需证明

当


所以,


∴


当

即

当n=k+1时,
因此,

所以,


所以,

即当n=k+1时,不等式成立,
所以,当



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