题目内容
【题目】已知函数().
(1)当曲线在点处的切线的斜率大于时,求函数的单调区间;
(2)若 对恒成立,求的取值范围.(提示:)
【答案】(1)详见解析; (2).
【解析】试题分析:
(1)考查函数的定义域,且 ,由,得.分类讨论:
当时,的单调递增区间为;
当时,的单调递减区间为.
(2)构造新函数,令 ,,
则 ,,分类讨论:
①当时,可得.
②当时, .
综上所述,.
试题解析:
(1)的定义域为, ,,.
由,得.当时,,的单调递增区间为;
当时,,的单调递减区间为.
(2)令 ,,
则 ,,
①当时,,所以在上单调递减,所以当,,故只需,即,即,所以.
②当时,令,得.
当时,,单调递增;当时,,单调递减.
所以当时,取得最大值.
故只需,即 ,
化简得 ,
令,得().
令 (),则 ,
令,,
所以在上单调递增,又,,所以,,所以在上单调递减,在上递增,
而, ,所以上恒有,
即当时, .
综上所述,.
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