Question

【题目】已知函数f（x）= x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；
（2）对任意的a∈[ ， ]，x1 ， x2∈[1，2]（x1≠x2），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜λ| ﹣ |，求正数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx的导数

f′（x）=x﹣（2a+2）+ = ，x＞0，

由题意可得f′（2）= ＜0，可得a＞ ，2a+1＞2＞1，

由f′（x）＞0，可得x＞2a+1或0＜x＜1；f′（x）＜0，可得1＜x＜2a+1．

即有f（x）的增区间为（0，1），（2a+1，+∞）；减区间为（1，2a+1）；

（2）解：由a∈[ ， ]，可得2a+1∈[4，6]，

由（1）可得f（x）在[1，2]递减．

设1≤x1＜x2≤2，即有f（x1）＞f（x2）， ＞ ，

原不等式即为f（x1）﹣λ ＜f（x2）﹣λ

对任意的a∈[ ， ]，x1，x2∈[1，2]恒成立，

令g（x）=f（x）﹣ ，即有g（x1）＜g（x2），即为g（x）在[1，2]递增，

即有g′（x）≥0对任意的a∈[ ， ]，x1，x2∈[1，2]恒成立，

即x﹣（2a+2）+ + ≥0，即为x3﹣（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0，

则（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0，a∈[ ， ]，

由x∈[1，2]，可得2x﹣2x2≤0，只需 （2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0．

即x3﹣7x2+6x+λ≥0对x∈[1，2]恒成立，

令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，h′（x）=3x2﹣14x+6≤0在1≤x≤2恒成立，

则有h（x）在[1，2]递减，可得h（2）取得最小值，且为﹣8+λ≥0，

解得λ≥8．即有正数λ的取值范围是[8，+∞）．

【解析】（1）求出函数的导数，并分解因式，由题意可得f′（2）= ＜0，再由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）求出2a+1的范围，可得f（x）在[1，2]递减，由题意可得原不等式即为f（x1）﹣λ ＜f（x2）﹣λ
对任意的a∈[ ， ]，x1 ， x2∈[1，2]恒成立，令g（x）=f（x）﹣ ，即有g（x1）＜g（x2），即为g（x）在[1，2]递增，求出g（x）的导数，令导数大于等于0，再由一次函数的单调性可得只需 （2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0．即x3﹣7x2+6x+λ≥0对x∈[1，2]恒成立，令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，求出导数，求得单调区间和最小值，解不等式即可得到所求范围．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．