Question

已知圆轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为 的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连结PF，过原点作直线PF的垂线交直线于点Q.

   （1）求椭圆C的标准方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

   （2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ圆O相切；

   （3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由（一、二、五中必做，其它学校选做）。.

 

 

 

 

 

Answer 1

解析:（1）因为  （2分）

则b=1，即椭圆C的标准方程为   （3分）

（2）因为P（1，1），所以

所以，所以直线OQ的方程为y= ―2x. （4分）

又Q在直线上，所以点Q（―2，4）  （5分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

     即QP⊥OQ，

故直线PQ与圆O相切，   （6分）

（3）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系.  （7分）

设，则

所以直线OQ的方程为  所以点Q    （10分）

所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

所以，即OP⊥PQ（P不与A、B重合），

故直线PQ始终与圆O相切.（13分）