题目内容

若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是x= $数学公式$ ，函数f^′（x）的图象的一个对称中心是（ $数学公式$ ，0），则f（x）的最小正周期是________．

π
分析：根据两角和与差的正弦公式整理函数，根据对称轴对应的函数值是正负 $\text{[math]}$ ，代入数值两边平方，得到a=b，写出函数的导函数，根据导函数的对称中心，得到ω的值，求出最小正周期．
解答：∵函数f（x）=asinωx+bcosωx= $\text{[math]}$ sin（ωx+φ）
图象的一条对称轴方程是x= $\text{[math]}$ ，
∴把 $\text{[math]}$ 代入，得到 $\text{[math]}$
两边平方得到a=b，
∴f（x）=asinωx+acosωx= $\text{[math]}$ asin（ωx+ $\text{[math]}$ ）
∵函数f^′（x）的图象的一个对称中心是（ $\text{[math]}$ ，0），
∴f^′（x）= $\text{[math]}$ aωcos（ωx+ $\text{[math]}$ ）过（ $\text{[math]}$ ，0），
∴ $\text{[math]}$ ，
又∵0＜ω＜5，
∴k=0时，ω=2符合题意
∴函数的最小正周期是 $\text{[math]}$
故答案为：π
点评：本题主要考查了利用辅助角公式把函数化简为同一个角的三角函数，本题解题的关键是函数的导函数的一个对称中心，代入可以求出ω的值，根据对称轴可以求出a，b相等的条件，本题是一个中档题目．

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（n∈N^*）
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