试题分析:本题综合考查函数与导数及运用导数求单调区间、极值等数学知识和方法,突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问,先将

代入,得到

的表达式,对其求导,令

大于0,解不等式,得出增区间;第二问,由于当

时函数

有极值,所以

是

的根,代入得出

的值,代入

中得到具体解析式,可以看出

的对称中心,而

到

图像是经过平移得到的,所以经过平移,得到对称中心坐标,假设存在

,试试看能不能求出来,对

求导,得到

的两个根分别为1和

,通过讨论两根的大小,出现3种情况在每一种情况下,讨论单调性,最后总结出符合题意的

的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)当

,

,
设

,即

,
所以

或

,

单调增区间是

.
(Ⅱ)当

时,函数

有极值,
所以

,且

,即

,
所以

,
所以

的图像可由

的图像向下平移16个单位长度得到,
而

的图像关于

对称,
所以函数

的图像的对称中心坐标为

.
(Ⅲ)假设存在

使

在

上为减函数,

,
(1)当

时,

,

在定义域上为增函数,不合题意;
(2)当

时,由

得:

,

在

上为增函数,则在

上也为增函数,也不合题意;
(3)当

时,由

得:

,若

,

无解,则

,
因为

在

上为减函数,则

在

上为减函数,

在

上为减函数,且

,则

.由

,得

.
综上所述,符合条件的

满足

.