Question

【题目】已知且，函数.

（1）求的定义域及其零点；

（2）讨论并用函数单调性定义证明函数在定义域上的单调性；

（3）设，当时，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 定义域为,函数的零点为-1;(2)见解析;(3) .

【解析】试题分析：（1）由题意知求得函数 定义域为，再由，即可求解函数的零点；

（2）根据函数的单调性的定义，即可证明函数的单调性；

（3）由任意，存在，使得成立，得到

由（2）知当时， 在上单调递增，得到函数的最大值为，分三种情况讨论，即可求解实数的取值范围.

试题解析：

（1）由题意知， ， ，解得，

所以函数 定义域为.

令，得，解得，故函数的零点为-1；

（2）设， 是内的任意两个不相等的实数，且，则，

∵，∴，即

所以当时， ，故在上单调递减，

当时， ，故在上单调递增.

（3）若对于任意，存在，使得成立，

只需

由（2）知当时， 在上单调递增，则

①当时， ， 成立

②当时， 在上单调递增， ，由，解得，∴

③当时， 在上单调递减， ，由，解得，∴

综上，满足条件的的范围是.