Question

4．设函数f（x）=2^x-m．
（1）当m=8时，求函数f（x）的零点．
（2）当m=-1时，判断g（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{f（x）}$的奇偶性并给予证明．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0，可得函数f（x）的零点．
（2）当m=-1时，g（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{f（x）}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，利用奇函数的定义证明即可．

解答 解：（1）当m=8时，2^x-8=0，∴x=3，
∴函数f（x）的零点是x=3．
（2）当m=-1时，g（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{f（x）}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$为奇函数，
证明如下：函数的定义域为R，
g（-x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$=-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）=-g（x），
∴函数g（x）是奇函数．

点评 本题考查函数的零点、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．