Question

设x是任意的一个实数，y表示对x进行四舍五入后的结果，其实质是取与x最接近的整数，在距离相同时，取较大的而不取较小的整数，其函数关系常用y=round（x）表示．例如：round（0.5）=1，round（2.48）=2，round（-0.49）=0，round（-2.51）=-3．
（1）画出这个函数y=round（x）在区间[-5，5]内的函数图象；
（2）判断函数y=round（x）（x∈R）的奇偶性，并说明理由；
（3）求方程round（2x+1）=4x的解集．

Answer 1

分析：（1）图象如图所示．
（2）是非奇非偶函数．因为round（-0.5）=0，round（0.5）=1，显然round（-0.5）≠round（0.5），且round（-0.5）≠-round（0.5）．
（3）原不等式?

4x∈Z 4x- 1 2 ≤2x+1＜4x+ 1 2

?

4x∈Z 1 4 ＜x≤ 3 4

?x=

1

2

或

3

4

，由此可得方程的解．

解答：解：（1）见图；
（2）非奇非偶函数．
因为round（-0.5）=0，round（0.5）=1
所以round（-0.5）≠round（0.5），round（-0.5）≠-round（0.5）
故函数为既非奇又非偶函数．
（3）原不等式?

4x∈Z 4x- 1 2 ≤2x+1＜4x+ 1 2

?

4x∈Z 1 4 ＜x≤ 3 4

?x=

1

2

或

3

4

所以，方程的解集为 {

1

2

，

3

4

}．

点评：本题主要考查新定义，函数的奇偶性的判断，作函数的图象，属于中档题．