题目内容

(理)设A={x|x≠kπ+,k∈Z},已知a=(2cos,sin),b=(cos,3sin),其中α、β∈A,

(1)若α+β=,且a=2b,求α,β的值;

(2)若a·b=,求tanαtanβ的值.

(文)已知函数f(x)=-x2+4,设函数F(x)=

(1)求F(x)的表达式;

(2)解不等式1≤F(x)≤2;

(3)设mn＜0,m+n＞0,判断F(m)+F(n)能否小于0?

答案：(理)解:(1)∵α+β=,∴a=(1,sin(α)),b=(,3sin(α)).

由a=2b,得sin(α)=0,∴α=kπ+,β=-kπ+,k∈Z.

(2)∵a·b=2cos2+3sin2=1+cos(α+β)+3×

=+cos(α+β)-cos(α-β)=,

∴cos(α+β)=cos(α-β).展开,得2cosαcosβ-2sinαsinβ=3cosαcosβ+3sinαsinβ,

即-5sinαsinβ=cosαcosβ,∵α、β∈A,∴tanαtanβ=.

(文)解:(1)F(x)=

(2)当x＞0时,解不等式1≤-x2+4≤2,得≤x≤;

当x＜0时,解不等式1≤x2-4≤2,得≤x≤-5.

综合上述不等式的解为≤x≤或≤x≤.

(3)∵mn＜0,不妨设m＞0,则n＜0,又m+n＞0,∴m＞-n＞0.∴|m|＞|n|.

∴F(m)+F(n)=-m2+4+n2-4=n2-m2＜0,即F(m)+F(n)能小于0.

练习册系列答案
相关题目
对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常数）；
②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c称f（x）为“平底型”函数．
（1）（理）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（文）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）（理）若F（x）=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．
设h(x)=x+
m
x
，x∈[
1
4
，5]，其中m是不等于零的常数，
（1）（理）写出h（4x）的定义域；
（文）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f2（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f1（x）=cosx，x∈[0，π]，f2（x）=1，x∈[0，π]．
（理）当m=1时，设M(x)=
h(x)+h(4x)
2
+
|h(x)-h(4x)|
2
，不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h1（x）-h2（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．
（理）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）=f（1-x）恒成立．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若关于x的方程f（x）=ax有5个不同的解，则实数a的取值范围是
a=
2
5
或-
2
3
＜a＜-
2
7
a=
2
5
或-
2
3
＜a＜-
2
7
．

（09年西城区抽样理）（14分）

 已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.

设f (x)=x2+ax，g(x)=x+b(R)，l(x)= 2x2+3x-1，h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数.

（Ⅰ）设，若h (x)为偶函数，求；

（Ⅱ）设，若h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；

（Ⅲ）试判断h(x)能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论.

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