Question

【题目】已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3 =0相切，点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足 ，设动点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，且满足 （O为坐标原点），求线段AB长度的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设动点N（x，y），A（x0 ， y0），
∵AM⊥x轴于点M，∴M（x0 ， 0），
设圆C1 的方程为x2+y2=r2 ， 由题意得 ，
∴圆C1 的方程为x2+y2=9．
由题意， ，得 ，
∴ ，即 ，
将A（ ）代入x2+y2=9，得动点N的轨迹方程为 ；
（Ⅱ）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，
联立 ，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．
∴△=64k2﹣8m2+32＞0．
，（*）
∵ ，∴ ，则x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
化简可得， ．
将（*）代入可得3m2=8k2+8．
又∵|AB|= ．
将 代入，可得 =
= ．
∴当且仅当 ，即 时等号成立．
又由 ，∴|AB| ．
∴ ．
②若直线l的斜率不存在，则OA所在直线方程为y=x，
联立 ，解得A（ ），
同理求得B（ ），
求得 ．
综上，得
【解析】（Ⅰ）设出动点N（x，y），A（x0 ， y0），M（x0 ， 0），由题意求圆C1的方程，结合已知 ，把A的坐标用N的坐标表示，代入圆的方程求得椭圆C的方程；（Ⅱ）假设直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，利用 ，结合根浴系数的关系得到3m2=8k2+8．再利用弦长公式求得弦AB的长，利用基本不等式及函数的性质求得|AB|的范围；若直线l的斜率不存在，直接求出A，B的坐标得到|AB|的值，则线段AB长度的取值范围可求．