Question

B．已知矩阵M=

12 2x

的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
C．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=t y=1+2t

（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．

Answer 1

分析：B．先根据特征多项式的公式建立方程，由λ₁=3代入f（λ）=0解出x=1，进而得出另一个特征值λ₂，最后由得到的λ₂值不难求出另一个特征向量；
C．由直线参数方程消去参数t化简为一般方程，再将⊙C化成直角坐标的标准方程，求出圆心C到直线l的距离，再将这个距离与⊙C半径比较，即可得到直线l和圆C的位置关系．

解答：解：B．矩阵M的特征多项式为f（λ）=|

λ-1 ，-2 -2 ，λ-x

|=（λ-1）（λ-x）-4…（1分）
因为λ₁=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1…（3分）
由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ₂=-1，…（5分）
设λ₂=-1对应的一个特征向量为α=

x y

，
则

-2x-2y=0 -2x-2y=0

得x=-y…（8分）
令x=1，则y=-1，
所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为α=

1 -1

…（10分）
C．直线l的参数方程为

x=t y=1+2t

（t为参数），
消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y=2x+1，即2x-y+1=0；…（2分）
ρ=2

2

(sinθ+

π

4

)即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），
得⊙C的直角坐标方程为：（x-1）²+（x-1）²=2，…（6分）
圆心C到直线l的距离d=

|2-1+1|

22+12

=

2 5

5

＜

2

，
所以直线l和⊙C相交．…（10分）

点评：本题第一问以求矩阵的特征向量和特征值为例，考查学生对矩阵变换的理解和特征值与特征向量的计算等知识，第二问给出直线与圆的参数方程，求直线与圆的位置关系，着重考查了参数方程与普通方程的互化和直线与圆位置关系等知识，两题都属于中档题．