Question

已知点是F抛物线C与椭圆C的公共焦点，且椭圆的离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）过抛物线上一点P，作抛物线的切线l，切点P在第一象限，如图，设切线l与椭圆相交于不同的两点A、B，记直线OP，FA，FB的斜率分别为k，k₁，k₂（其中O为坐标原点），若k，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用抛物线与椭圆有公共焦点，且椭圆的离心率为，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）设出切线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率公式，即可求得结论．
解答：解：（1）∵点F的坐标为（0，1），则有
∴a=2，b=
∴椭圆方程为；
（2）设P（2t，t²），由，得切线的斜率为t，从而切线l的方程为y=tx-t²，
直线l与椭圆方程联立，得（3t²+4）x²-6t³x+3t⁴-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∴k₁+k₂=+=
∵=
∴
∵t＞0，∴5t⁴+3t²-8=0
∴t²=1
∴t=1
∴P的坐标为（2，1）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．