Question

【题目】已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等实数根．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域；

(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，试判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝－x2＋x;(2) ;(3)详见解析.

【解析】试题分析:(1) 由f(2)＝0以及方程f(x)＝x有两个相等实数根,求出a,b的值,代入原函数求出解析式;(2)对二次函数f(x)配方, 显然函数f(x)在[1,2]上是减函数，分别求出端点值得出函数的值域;(3)用奇函数的定义判断并证明函数的奇偶性.

试题解析:

(1)已知f(x)＝ax2＋bx.

由f(2)＝0，得4a＋2b＝0，即2a＋b＝0①

方程f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，

即ax2＋(b－1)x＝0有两个相等实根，且a≠0，∴b－1＝0，∴b＝1，代入①得a＝－.

∴f(x)＝－x2＋x.

(2)由(1)知f(x)＝－ (x－1)2＋.显然函数f(x)在[1,2]上是减函数，

∴x＝1时，ymax＝，x＝2时，ymin＝0.∴x∈[1,2]时，函数的值域是.

(3)∵F(x)＝f(x)－f(－x)＝－＝2x.

∴F(x)是奇函数．

证明：∵F(－x)＝2(－x)＝－2x＝－F(x)，

∴F(x)＝2x是奇函数．

点睛:本题考查求函数的解析式,函数的值域以及函数的奇偶性. 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.