题目内容

已知函数f(x)=2a•4x-2x-1
(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]的值域;
(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.
分析:(1)由题意可得f(x)=2•4x-2x-1,令t=2x,则f(t)=2t2-t-1,由x∈[-3,0]可知
1
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t≤1,结合二次函数的性质可求
(2)由题意可得方程2at2-t-1=0在(0,+∞)上有解,结合二次函数的性质可考虑分类讨论:①当a=0时②当a<0时,③当a>0三种情况讨论可求
解答:解:(1)当a=1时,f(x)=2•4x-2x-1,
令t=2x,则f(t)=2t2-t-1,
∵x∈[-3,0]
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8
t≤1,f(t)=2(t-
1
4
)
2
-
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当t=
1
4
时,函数有最小值-
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,当t=1时,函数有最大值0
故值域为[-
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,0]

(2)关于x的方程f(x)=0有解,等价于
方程2at2-t-1=0在(0,+∞)上有解
记f(t)=2at2-t-1(t>0)
①当a=0时,解为t=-1,不成立
②当a<0时,开口向下,对称轴t=
1
4a
<0,过点(0,-1),可得根都为负数,不成立
③当a>0时,开口向上,对称轴t=
1
4a
>0,过(0,-1),必有一个根为正
综上得,a>0
点评:本题主要考查了利用换元求解二次函数在闭区间上的最值,及二次方程的实根分布的应用,属于综合试题
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