题目内容
某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内,预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q=
(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品需再投入32万元.若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元,企业是亏损还是盈利?
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?
思路分析：因为年利润y=(年收入)-(年成本)-(年广告费)，所以就把年利润表示成年广告费的函数关系式.利用导数求出最值.
解：(1)由题意,每年产销Q万件,共计成本为(32Q+3)万元.
销售收入是(32Q+3)·150%+x·50%.
∴年利润y=(年收入)-(年成本)-(年广告费)=(32Q+3-x)=
(32×
+3-x)=
(x+1)(x≥0).
∴所求的函数关系式为y=
(x+1)(x≥0).
当x=100时,y＜0,即当年广告费投入100万元时,企业亏损.
(2)由y=
(x+1)(x≥0)可得
y′=
=0.
令y′=0,则x2+2x-63=0.
∴x=-9(舍去)或x=7.
又x∈(0,7)时,f′(x)＞0；x∈(7,+∞)时,f′(x)＜0,
∴f(x)极大值=f(7)=42.
又∵在(0,+∞)上只有一个极值点,
∴f(x)max=f(x)极大值=f(7)=42.
故当年广告费投入7万元时,企业年利润最大.
练习册系列答案
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(x≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元．每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占广告费的50％”之和．
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(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
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