题目内容

当今世界进入了计算机时代，我们知道计算机装置有一个数据输入口A和一运算结果输出口B，某同学编入下列运算程序，将数据输入且满足以下性质：
①从A输入1时，从B得到 $数学公式$ ；
②从A输入整数n（n≥2）时，在B得到的结果f（n）是将前一结果f（n-1）先乘以奇数2n-3，再除以奇数2n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）试由（1）推测f（n）的表达式，并用数学归纳法证明；
（3）求 $数学公式$ ．

（1）解：是题意知f（1）= $\text{[math]}$ ，f（n）= $\text{[math]}$ f（n-1），
∴当n=2时f（x）= $\text{[math]}$ ，
当n=3时f（3）= $\text{[math]}$ ，
当n=4时f（4）= $\text{[math]}$ ，
猜想f（n）= $\text{[math]}$ ．…（3分）
（2）证明：（ⅰ）当n=1时f（1）= $\text{[math]}$ 满足f（n）= $\text{[math]}$ ．
（ⅱ）假设n=k（k∈N^*且k≥1）时，f（k）= $\text{[math]}$ ．，
那么n=k+1时，f（k+1）= $\text{[math]}$ f（k）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴n=k+1时也满足f（n）= $\text{[math]}$ ．
综上知：f（n）= $\text{[math]}$ ．…（8分）
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
=lim $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）由已知，得出f（n）= $\text{[math]}$ f（n-1）（n≥2）．依次令n=2，3，4可求出f（2），f（3），f（4）；
（2）根据（1）的结果，推测并依照数学归纳法进行证明．
（3）f（n）= $\text{[math]}$ 裂项为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．求和后再求极限．
点评：本题考查阅读、推理、论证、计算能力，借助于数列的递推公式，裂项法求和、极限的知识继续能力考查．