题目内容

当今世界进入了计算机时代,我们知道计算机装置有一个数据输入口A和一运算结果输出口B,某同学编入下列运算程序,将数据输入且满足以下性质:
①从A输入1时,从B得到
1
3

②从A输入整数n(n≥2)时,在B得到的结果f(n)是将前一结果f(n-1)先乘以奇数2n-3,再除以奇数2n+1.
(1)求f(2),f(3),f(4);
(2)试由(1)推测f(n)的表达式,并用数学归纳法证明;
(3)求
lim
n→∞
f(1)+f(2)+…+f(n)
分析:(1)由已知,得出f(n)=
2n-3
2n+1
f(n-1)(n≥2).依次令n=2,3,4可求出f(2),f(3),f(4);
 (2)根据(1)的结果,推测并依照数学归纳法进行证明.
(3)f(n)=
1
(2n-1)(2n+1)
裂项为
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
).求和后再求极限.
解答:(1)解:是题意知f(1)=
1
3
,f(n)=
2n-3
2n+1
f(n-1),
∴当n=2时f(x)=
1
15

当n=3时f(3)=
1
35

当n=4时f(4)=
1
63

猜想f(n)=
1
(2n-1)(2n+1)
.…(3分)
(2)证明:(ⅰ)当n=1时f(1)=
1
3
满足f(n)=
1
(2n-1)(2n+1)

(ⅱ)假设n=k(k∈N*且k≥1)时,f(k)=
1
(2n-1)(2n+1)
.,
那么n=k+1时,f(k+1)=
2k-1
2k+3
f(k)=
2k-1
2k+3
×
1
(2k-1)(2k+1)
=
1
[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

∴n=k+1时也满足f(n)=
1
(2n-1)(2n+1)

综上知:f(n)=
1
(2n-1)(2n+1)
.…(8分)
(3)
lim
n→∞
f(1)+f(2)+…+f(n)
=
lim
n→∞
[
1
1×3
+
1
3×5
+…+
1
(2n-1)(2n+1)
]

=lim
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1

=
lim
n→∞
(1-
1
2n+1
)
=
1
2
                                    …(12分)
点评:本题考查阅读、推理、论证、计算能力,借助于数列的递推公式,裂项法求和、极限的知识继续能力考查.
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