Question

(本小题满分10分)如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．

(1) 求异面直线AB与MD所成角的大小；

(2) 求平面OAB与平面OCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

作AP⊥CD于点P，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，

P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)．

(1) ＝(1,0,0)，＝，

则cos〈，〉＝－，

故AB与MD所成角为.(4分)

(2) ＝，＝，

设平面OCD的法向量n＝(x，y，z)，

则n·＝0，n·＝0，

即

取z＝，则n＝(0,4，)．(6分)

易得平面OAB的一个法向量为m＝(0,1,0)，

cos〈n，m〉＝，(9分)

故平面OAB与平面OCD所成二面角的平面角余弦值为.(10分)