题目内容

()(本小题满分12分)

如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点。   

(Ⅰ)求证:ACSD

(Ⅱ)若SD平面PAC,求二面角P-AC-D的大小

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。

(Ⅰ)略(Ⅱ)(Ⅲ)不在平面内,故


解析:

解法一:

     (Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意。在正方形ABCD中,,所以,得.

      (Ⅱ)设正方形边长,则

,所以,

      连,由(Ⅰ)知,所以,

,所以是二面角的平面角。

,知,所以,

即二面角的大小为

  (Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使

由(Ⅱ)可得,故可在上取一点,使,过的平行线与的交点即为。连BN。在中知,又由于,故平面,得,由于,故.

解法二:

     (Ⅰ);连,设交于,由题意知.以O为坐标原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立坐标系如图。

   设底面边长为,则高

   于是

       

故        从而  

(Ⅱ)由题设知,平面的一个法向量,平面的一个法向量,设所求二面角为,则,所求二面角的大小为

     (Ⅲ)在棱上存在一点使.

      由(Ⅱ)知是平面的一个法向量,

    且  

即当时,

不在平面内,故

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