Question

已知函数f（x）=-3x-x³，x∈R，若θ∈[0，

π

2

]时，不等式f（cos²θ-2t）+f（4sinθ-3）≥0恒成立，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先研究函数f（x）=-3x-x³，x∈R的单调性，求导既得，由不等式恒成立进行转化，再研究θ∈[0，

π

2

]时cos²θ-2t与4sinθ-3取值范围，分离出参数t，利用三角函数的性质求其范围即得实数t的取值范围．

解答：解：由于f′（x）=-3-3x²＜0恒成立，故函数函数f（x）=-3x-x³，x∈R是一个减函数，由解析式可知，函数也是一个奇函数，
又不等式f（cos²θ-2t）+f（4sinθ-3）≥0恒成立，故f（cos²θ-2t）≥-f（4sinθ-3）=f（-4sinθ+3）在θ∈[0，

π

2

]时恒成立
即cos²θ-2t≤-4sinθ+3在θ∈[0，

π

2

]时恒成立
即cos²θ-3+4sinθ≤2t在θ∈[0，

π

2

]时恒成立
即2t≥-sin²θ+4sinθ-2=-（sinθ-2）²+2在θ∈[0，

π

2

]时恒成立
∵θ∈[0，

π

2

]时sinθ∈[0，1]，∴=-（sinθ-2）²+2≤1
∴2t≥1，t≥

1

2

故答案为[

1

2

，+∞)

点评：本题考查函数单调性的性质，本题是一个恒成立的问题，通过函数的单调性将其转化为三角不等式恒成立的问题，再分离常数，通过求三角函数的最值得到参数t的取值范围．本题考查了转化化归的思想，解题的关键是将恒等式进行正确转化，且能根据所得的形式判断应该求出三角形函数的最值以得到参数满足的不等式，求参数，本题思维量较大，难度不小．易因为转化时不等价出错．