Question

已知点P是圆x²+y²=1上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设

OM

=

OP

+

OQ

（1）求点M的轨迹方程
（2）求向量

OP

和

OM

夹角的最大值，并求此时P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设P（x_°，y_°），M（x，y），由条件可得

x=2x° y=y°

?

x°= 1 2 x y°=y

，再由 x_°²+y_°²=1，得到

x2

4

+y2=1．
（2）设向量

OP

与

OM

的夹角为α，cosα=

OP • OM

| OP |•| OM |

=

2 x ° 2 + y ° 2

4 x ° 2 + y ° 2

=

( x ° 2 +1)2 3 x ° 2 +1

，令t=3x_°²+1，则cosα=

1

3

(t+2)2 t

=

1

3

t+ 4 t +4

≥

2 2

3

，由此求得结论．

解答：解：（1）设P（x_°，y_°），M（x，y），则

OP

=(x°，y°)，

OQ

=(x°，0)，

OM

=

OP

+

OQ

=(2x°，y°)=（x，y）．
∴

x=2x° y=y°

?

x°= 1 2 x y°=y

，∵x_°²+y_°²=1，∴

x2

4

+y2=1．
（2）设向量

OP

与

OM

的夹角为α，则cosα=

OP • OM

| OP |•| OM |

=

2 x 2 ° + y 2 °

4 x 2 ° + y 2 °

=

( x 2 ° +1)2 3 x 2 ° +1

令t=3x_°²+1，则cosα=

1

3

(t+2)2 t

=

1

3

t+ 4 t +4

≥

2 2

3

，
当且仅当t=2时，即P点坐标为(±

3

3

，±

6

3

)时，等号成立．∴

OP

与

OM

夹角的最大值是arccos

2 2

3

．

点评：本题考查点轨迹方程的求法，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式和基本不等式的应用，得到
cosα=

1

3

(t+2)2 t

=

1

3

t+ 4 t +4

≥

2 2

3

，是解题的难点．