题目内容
已知点P是圆x2+y2=1上一动点,点P在y轴上的射影为Q,设满足条件QM |
QP |
(1)求曲线C的方程;
(2)若存在过点N(
1 |
2 |
OA |
OB |
分析:(1)先设出点P的坐标,利用题中条件把点M的坐标用点P的坐标表示出来,最后利用点P在圆x2+y2=1上即可求曲线C的方程;
(2)先把直线方程与曲线方程联立求出A、B两点的坐标之间的关系,代入
•
=0的等价结论x1x2+y1y2=0即可求λ的取值范围.
(2)先把直线方程与曲线方程联立求出A、B两点的坐标之间的关系,代入
OA |
OB |
解答:解:(1)设点P的坐标为(x0,y0),点M的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y0).
由
=λ
,得x=λx0,y=y0?x0=
,y0=y.(3分)
因为点P在圆x2+y2=1上,则x02+y02=1,所以
+y2=1(λ≠0).
故点M的轨迹C的方程为
+y2=1(λ≠0).(7分)
(2)因为直线l的斜率为0时,
•
=0,故可设直线l的方程为x=my+
.
由
得(m2+λ2)y2+my+
-λ2=0(*)(10分)
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-
,y1y2=
.
因为
•
=0,则x1x2+y1y2=0,又x1x2=m2y1 y2 +
(y1+y2) +
,
所以(m2+1)(
-λ2)-
+
(m2+λ2)=0,(13分)
因为λ≠0,所以m2=
,由
≥0?-
≤λ≤
且λ≠0.,
此时(*)的判别式△>0成立,故λ的取值范围是[-
,0)∪(0,
].(15分)
由
QM |
QP |
x |
λ |
因为点P在圆x2+y2=1上,则x02+y02=1,所以
x2 |
λ2 |
故点M的轨迹C的方程为
x2 |
λ2 |
(2)因为直线l的斜率为0时,
OA |
OB |
1 |
2 |
由
|
1 |
4 |
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-
m |
m2+λ2 |
| ||
m2+λ2 |
因为
OA |
OB |
m |
2 |
1 |
4 |
所以(m2+1)(
1 |
4 |
m2 |
2 |
1 |
4 |
因为λ≠0,所以m2=
| ||||
λ2 |
| ||||
λ2 |
| ||
3 |
| ||
3 |
此时(*)的判别式△>0成立,故λ的取值范围是[-
| ||
3 |
| ||
3 |
点评:本题主要考查轨迹方程的求法,直线的方程,向量共线以及向量垂直等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想,考查解决问题的能力和运算能力.

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