题目内容

设m、t为实数,函数,f(x)的图象在点M(0,f(0))处的切线的斜率为1.
(1)求实数m的值;
(2)若对于任意x∈[﹣1,2],总存在t,使得不等式f(x)≤2t成立,求实数t的取值范围;设方程x2+2tx﹣1=0的两个实数根为a,b(a<b),若对于任意x∈[a,b],总存在x1、x2∈[a,b],使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,记g(t)=f(x2)﹣f(x1),当时,求实数t的值.
解:(1)∵
∴f '(x)=
∵函数,f(x)的图象在点M(0,f(0))处的切线的斜率为1
∴f '(0)=1
∴m=1
(2)由(1)知f(x)=
∵对于任意x∈[﹣1,2],总存在t,使得不等式f(x)≤2t成立
∴对于任意x∈[﹣1,2],总存在t,使得不等式t≥成立
即t≥
令s(x)=则s '(x)=
∴当s'(x)≥0时﹣≤x≤
当s'(x)≤0时x≤﹣或x≥而x∈[﹣1,2]
故﹣1≤x≤﹣≤x≤2
∴s(x)在[﹣1,﹣]单调递减,在(﹣)单调递增,在[,2]单调递减
∵s(﹣)=﹣,s(2)=
∴s(x)min=﹣
∴t≥﹣
又由韦达定理可得a+b=﹣2t,ab=﹣1,b﹣a=2
若对于任意x∈[a,b],总存在x1,x2∈[a,b]使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,说明x1,x2分别是区间[a,b]f(x)的最小最大值点.
由(1)可得,f'(x)=
注意h(x)=x2+2tx﹣1,不难发现函数f(x)在区间[a,b]f '(x)≥0,f(x)递增,
则x1=a,x2=b
则g(t)=f(x2)﹣f(x1)=f(b)﹣f(a)
              ==
∵a+b=﹣2t,ab=﹣1,b﹣a=2
∴g(t)=

∴t=±2
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