Question

已知函数f(x)=x³-3tx+m(x∈R，m和t为实数)是奇函数．

(Ⅰ)求实数m的值和函数f(x)的图像与横轴的交点坐标；

(Ⅱ)设g(x)=|f(x)|且x∈[-1，1]，求g(x)的最大值F(t)．

Answer 1

解：(1)依题意，m=0，

∴f(x)=x³-3tx．  令x³-3tx=0，

(1)当t=0时,x=0．

∴函数f(x)的图像与横轴的交点坐标为(0，0)．

(2)当t＞0时,x(x-3t)=0． ∴x=0，或x²=3t，

∴x=0，或x=,或x=，

∴函数f(x)的图像与横轴的交点坐标为(0，0)，或(t，0)，或(，0)．

(3)当t＜0时，x(x-3t)=0． ∴x=0，或x²=3t(舍去)．

∴函数f(x)的图像与横轴的交点坐标为(0，0)．

(Ⅱ)g(x)=|f(x)|=|x³-3tx|,x∈[-1，1]；

(1)当t=0时，g(x)=|x³|，x∈[-1，1]；

F(t)=g(1)=g(-1)=1．

(2)当t＜0时，F(t)=|f(l)=|1-3t|=1-3t．

(3)当t≥1时，F （t）=|f(1)=|1-3t|=3t-1．

(4)当0＜t＜1时，

x	0	(0,)		(,1)	1
f′(x)		-	0	+
f(x)	0		极小值-2t		1-3t

由g(x)的性质可知，

当≤t＜1时，g(x)的最大值F(t)=-f()=2t．

当0＜t＜时，g(x)的最大值F(t)=f(1)=1-3t．

综上所述:F(t)=