题目内容
（2013•天河区三模）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（a，b）（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为（5，3）的概率？
（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．
分析：（1）记某个家庭得分情况为（5，3）为事件A，由几何概型公式可得，得5分与3分的概率，由相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；
（2）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，分析可得获奖的得分包括（5，5），（5，3），（3，5）三种情况，由互斥事件的概率加法公式，计算可得答案；
（3）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是
，分析可得X可取的值为0、1、2、3、4、5，由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式计算可得X取0、1、2、3、4、5时的概率，列表可得X的分步列，由期望的计算公式可得X的期望．
（2）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，分析可得获奖的得分包括（5，5），（5，3），（3，5）三种情况，由互斥事件的概率加法公式，计算可得答案；
（3）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是
| 1 |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）记某个家庭得分情况为（5，3）为事件A，
由几何概型公式可得，得5分与3分的概率均为
；
P（A）=
×
=
．
所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为
．
（Ⅱ）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，则符合获奖条件的得分包括（5，5），（5，3），（3，5），共3类情况．
所以P（B）=
×
+
×
+
×
=
，
所以某个家庭获奖的概率为
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是
，而X可取的值为0、1、2、3、4、5，
P（X=0）=C50（
）0（1-
）5=
，
P（X=1）=C51（
）1（1-
）4=
，
P（X=2）=C52（
）2（1-
）3=
，
P（X=3）=C53（
）3（1-
）2=
，
P（X=4）=C54（
）4（1-
）1=
，
P（X=5）=C55（
）5（1-
）0=
，
所以X分布列为：
所以EX=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
+5×
=
，
所以X的数学期望为
．
由几何概型公式可得，得5分与3分的概率均为
| 1 |
| 3 |
P（A）=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为
| 1 |
| 9 |
（Ⅱ）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，则符合获奖条件的得分包括（5，5），（5，3），（3，5），共3类情况．
所以P（B）=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以某个家庭获奖的概率为
| 1 |
| 3 |
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是
| 1 |
| 3 |
P（X=0）=C50（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 32 |
| 243 |
P（X=1）=C51（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 80 |
| 243 |
P（X=2）=C52（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 80 |
| 243 |
P（X=3）=C53（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 40 |
| 243 |
P（X=4）=C54（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 10 |
| 243 |
P（X=5）=C55（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 243 |
所以X分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
|
| 32 |
| 243 |
| 80 |
| 243 |
| 80 |
| 243 |
| 40 |
| 243 |
| 10 |
| 243 |
| 1 |
| 243 |
| 5 |
| 3 |
所以X的数学期望为
| 5 |
| 3 |
点评：本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算以及随机变量的分步列、期望的计算，计算量比较大，注意准确记忆公式并正确计算．
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