Question

已知函数f（x）=x-1-

lnx

x

（x＞0）及h（x）=x²-1+lnx（x＞0）
（I）判断函数h（x）在（0，+∞）上的单调性，并求出h（1）的值；
（II）求函数f（x）的单调区间及其在定义域上的最小值；
（III）是否存在实数m，n，满足1≤m＜n，使得函数f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]？并说明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出其导函数，利用导函数值的正负来判断出其在（0，+∞）上的单调性，把1直接代入即可求出h（1）的值；
（II）先求出函数f（x）的导函数，并利用（I）的结论可得函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，且在1处取最小值；
（III）由（II）的结论知，当满足1≤m＜n，函数f（x）在[m，n]也是增函数，进而得f（m）=m，f（n）=n，转化为函数y=f（x）与直线y=x在[1，+∞）上至少有两个不同的交点，即g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上至少有两个不同的零点，下面只需要研究出g（x）在[1，+∞）上有没有两个零点即可得出结论．

解答：解：（Ⅰ）∵h'（x）=2x+

1

x

，又因为x＞0，所以h'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立
即函数h（x）在（0，+∞）上是单调递增，（2分）
且h（1）=0（4分）
（Ⅱ）f'（x）=

x2-1+lnx

x2

=

h(x)

x2

（x＞0）
由（Ⅰ）函数h（x）=x²-1+lnx在（0，+∞）上是单调递增，且h（1）=0可知：
当0＜x＜1时，h（x）＜0，所以有f'（x）＜0；
当x＞1时，h（x）＞0，所以有f'（x）＞0．（7分）
即函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数．（8分）
所以函数f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0（9分）
（Ⅲ）不存在（10分）
∵函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，
∴当满足1≤m＜n，函数f（x）在[m，n]也是增函数．
若函数f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]，则有f（m）=m，f（n）=n，
也即函数y=f（x）与直线y=x在[1，+∞）上至少有两个不同的交点，
也即g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上至少有两个不同的零点，
又g（x）=f（x）-x在区间[1，e）上是减函数，且g（1）=f（1）-1=-1，
当x∈[e，+∞）为增函数，且g（x）＜0．
∴函数g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上没有零点，
所以不存在实数m，n，满足1≤m＜n，使得函数f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]．（13分）

点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性，是对导数知识的综合考查，也是高考常考题型．