题目内容

若双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的右支上存在一点P,使点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等,那么该双曲线的离心率的取值范围是(  )
A、(1,
3
+1]
B、(1,
2
+1]
C、(1,
3
+1)
D、(1,
2
+1)
分析:设左右两个焦点分别为F、F′,点P到左准线的距离为d,则点P到右焦点的距离为d,由第二定义可得
PF
d
=e,
再由第一定义可得ed-d=2a,由d=
2a2
c-a
≥a+
a2
c
,及
c
a
>1,求出离心率的取值范围.
解答:解:设左右两个焦点分别为F、F′,点P到左准线的距离为d,则由题意可得点P到右焦点的距离也为d.
由第二定义可得
PF
d
=e,即 PF=ed.
再由第一定义可得ed-d=2a,∴d=
2a2
c-a
≥a+
a2
c

∴c2 -a2-2ac≤0,解得 1-
2
c
a
2
+ 1

再由
c
a
>1 可得,1<
c
a
2
+ 1

故选B.
点评:本题考查双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,得到
2a2
c-a
≥a+
a2
c
,是解题的关键,属于中档题.
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