Question

如图，平面EAD⊥平面ABCD，△EAD为正三角形，四边形ABCD为矩形，F是CD中点，EB与平面ABCD成30°角．
（1）当AD长度为何值时，点A到平面EFB的距离为2？
（2）二面角A-BF-E的大小是否与AD的长度有关？请说明．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点O，连接OE、OB，由，△EAD为正三角形，平面EAD⊥平面ABCD，由等腰三角形性质及线面垂直的性质，可得EO⊥平面ABCD，由EB与平面ABCD成30°角设AD=2a，则可以以O为坐标原点，建立空间坐标系，分别求出对应点的坐标，根据点A到平面EFB的距离

| m • AE |

| m |

=2，构造关于a的方程，解方程即可求出AD长．
（2）结合（1）的结合，求出平面EFB与平面ABCD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出答案．

解答：解：（1）取AD的中点O，连接OE、OB，
则EO⊥AD，EO⊥平面ABCD
于是∠EBO=30°
设AD=2a，则EO=

3

a，AB=2

2

a，OB=3a
建立如图所示的直角坐标系，
则a=（a，0，0），B（a，2

2

a，0），E=（0，0，

3

a），F（-a，

2

a，0）
∴

EF

=（-a，

2

a，-

3

a），

EB

=（a，2

2

a，-

3

a），

AE

=（a，0，

3

a），
∴可求得平面EFB的法向量

m

=（1，-

2

，-

3

），|

m

|=

6

∴

| m • AE |

| m |

=2
∴AD=

6

   （6分）
（2）平面ABCD的一个法向量

n

=（0，0，1）
设二面角A-BF-E的大小为θ
则cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

2

2

∴AD长度不影响二面角A-BF-E的大小 （12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离计算，其中建立空间坐标系，利用向量法解答点到平面的距离及二面角问题是解答本题的关键．