题目内容
已知函数f（x）=
，x∈[3，7]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
| x+1 | x-2 |
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
分析：（1）函数f（x）在区间[3，7]内单调递减，根据取值、作差、变形定号、下结论的步骤，可得结论；
（2）根据函数的单调性，即可得到结论．
（2）根据函数的单调性，即可得到结论．
解答：解：（1）函数f（x）在区间[3，7]内单调递减，证明如下：
在[3，7]上任意取两个数x1和x2，且设x1＞x2，
∵f（x1）=
，f（x2）=
，
∴f（x1）-f（x2）=
-
=
．
∵x1，x2∈[3，7]，x1＞x2，
∴x1-2＞0，x2-2＞0，x2-x1＜0，
∴f（x1）-f（x2）=
＜0．
即f（x1）＜f（x2），由单调函数的定义可知，函数f（x）为[3，7]上的减函数．
（2）由单调函数的定义可得f（x）max=f（3）=4，f（x）min=f（7）=
．
在[3，7]上任意取两个数x1和x2，且设x1＞x2，
∵f（x1）=
| x1+1 |
| x1-2 |
| x2+1 |
| x2-2 |
∴f（x1）-f（x2）=
| x1+1 |
| x1-2 |
| x2+1 |
| x2-2 |
| 3(x2-x1) |
| (x1-2)(x2-2) |
∵x1，x2∈[3，7]，x1＞x2，
∴x1-2＞0，x2-2＞0，x2-x1＜0，
∴f（x1）-f（x2）=
| 3(x2-x1) |
| (x1-2)(x2-2) |
即f（x1）＜f（x2），由单调函数的定义可知，函数f（x）为[3，7]上的减函数．
（2）由单调函数的定义可得f（x）max=f（3）=4，f（x）min=f（7）=
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点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
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| ||
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|