Question

已知不等式2（lo

g

x 0.5

）²+7lo

g

x 0.5

+3≤0的解集为M，求当x∈M时，函数f（x）=（lo

g

x 2 2

）（lo

g

x 4 2

）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先解对数不等式式求出x的取值范围，然后化简函数解析式，利用换元法转化成二次函数在闭区间上求值域．

解答：解：由2(log0.5x)2+7log0.5x+3≤0，
∴

(2log0.5x+1)(log0.5x+3)≤0

即

-3≤log0.5x≤- 1 2 ? 2 ≤x≤8，

M={x| 2 ≤x≤8}.

∵f(x)=(log2 x 2 )(log2 x 4 )，

∴

f(x)=(log2x-1)(log2x-2) =(log2x)2-3log2x+2

令u=log₂x得，f(u)=u2-3u+2=(u-

3

2

)2-

1

4

，  u∈[

1

2

，3]
根据复合函数的单调性得：
当u=

3

2

时，即x=2

2

时，f（x）_min=-

1

4

当u=3时，即x=8时，f（x）_max=2

点评：本题主要考查了对数函数的性质，以及换元法的应用和二次函数的性质，同时考查了转化的思想，属于中档题．