题目内容

已知函数
(Ⅰ)若上为增函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,方程有实根,求实数的最大值.

(Ⅰ);(Ⅱ)0.

解析试题分析:(Ⅰ)函数上为增函数,则它的导函数上恒成立,于是问题转化为不等式恒成立问题,这类问题若方便分离参数一般分离参数,若不方便分离参数,则可从函数自身的单调性解决,但往往会涉及分类讨论,较为麻烦,根据题目特点,本题需要采用第二种方法;(Ⅱ)这是一个由方程有解求参数取值范围(或最值)的问题,这类问题若方便分离参一般可分离参数,转化为求函数的值域问题,若不方便分离参数,则根据函数类型,采用数形结合方法解答,本题适合于第一种方法,但本题分离参数后,若直接求的最值,则较为困难,比较巧妙的做法是,将问题转化为求的最值.
试题解析:(I)因为函数上为增函数,所以
上恒成立       
?当时,上恒成立,
所以上为增函数,故 符合题意
?当时,由函数的定义域可知,必须有恒成立,故只能,所以上恒成立
令函数,其对称轴为,因为,所以,要使上恒成立,只要即可,
,所以因为,所以.综上所述,的取值范围为 
(Ⅱ)当时,可化为
问题转化为上有解,
即求函数的值域,

所以当时,上为增函数,当时,上为减函数,因此
,所以,即当时,取得最大值0.
考点:函数的单调性、函数与方程的综合问题.

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