Question

（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：•为定值b²-a²．
（2）由（1）类比可得如下真命题：双曲线C：+=1（a＞0，b＞0）与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，则为定值．请写出这个定值（不要求给出解题过程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点P（x，y），x≠±a，依题意，得A（-a，0），B（a，0），从而得直线PA的方程，继而求得点M，N的纵坐标，得到y_My_N=，把点P（x，y），代入椭圆方程可求得y_My_N==b²，从而得=b²-a²．
（2）类比（1）的结论，可得的值．
解答：（1）证明：设点P（x，y），x≠±a，
依题意，得A（-a，0），B（a，0），
∴直线PA的方程为y=（x+a）…（2分）
令x=0，得y_M=…（4分）
同理得y_N=…（6分）
∴y_My_N=，
∵点P（x，y）是椭圆C上一点，
∴=1，=（a²-），
∴y_My_N==b²，…（8分）
=（a，y_N），=（-a，y_M），
∴=-a²+y_My_N=b²-a²…（10分）
（2）-（a²+b²）…（14分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线、合情推理等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识，属于难题．