Question

求证：二项式x²ⁿ-y²ⁿ (n∈N^*)能被x+y整除.

Answer 1

证明略

（1）当n=1时，x²-y²=(x+y)(x-y),
能被x+y整除，命题成立.
（2）假设当n=k（k≥1,k∈N^*）时，x^2k-y^2k能被x+y整除，
那么当n=k+1时，
x^2k+2-y^2k+2=x²·x^2k-y²·y^2k
=x²x^2k-x²y^2k+x²y^2k-y²y^2k
=x²(x^2k-y^2k)+y^2k(x²-y²),
显然x^2k+2-y^2k+2能被x+y整除，
即当n=k+1时命题成立.
由（1）（2）知，对任意的正整数n命题均成立.