Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₃=5，a₇=13，数列{b_n}的前n项和为S_n，且有S_n=2b_n-1
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n，{c_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）试比较T_n与a_nS_n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用a₃=5，a₇=13，列出关于首项和公差的等式，求出首项和公差即可求{a_n}的通项公式；再利用S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1可得b_n=2b_n-2b_n-1，整理得是公比为2 的等比数列，再求出首项即可求{b_n}的通项公式；
（2）先整理出{c_n}的通项公式，因为是一等差数列乘一等比数列组成的新数列，所以直接利用错位相减法求和即可；
（3）对T_n与a_nS_n作差整理得2（n+1-2ⁿ），再研究对应函数f（x）=x+1-2^x（x≥1）的单调性求出其最值即可比较出T_n与a_nS_n的大小．

解答：解：（1）∵{a_n}是等差数列，且a₃=5，a₇=13，设公差为d．
∴

a1+2d=5 a1+6d=13

，解得

a1=1 d=2

∴a_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*）（2分）
在{b_n}中，∵S_n=2b_n-1
当n=1时，b₁=2b₁-1，∴b₁=1
当n≥2时，由S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1可得b_n=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1
∴{b_n}是首项为1公比为2的等比数列
∴b_n=2^n-1（n∈N^*）（4分）
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2^n-1
T_n=1+3•2+5•2²++（2n-1）•2^n-1①
2T_n=1•2+3•2²+5•2³++（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
①-②得-T_n=1+2•2+2•2²++2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=1+2•

2(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n
=1+4（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ
=-3-（2n-3）•2ⁿ
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3（n∈N^*）（8分）
（3）T_n-a_nS_n=（2n-3）•2ⁿ+3-（2n-1）（2ⁿ-1）
=（2n-3）•2ⁿ+3-（2n-1）•2ⁿ+2n-1
=2n+2-2•2ⁿ
=2（n+1-2ⁿ）（9分）
令f（x）=x+1-2^x（x≥1），则f'（x）=1-2^xln2
∵f'（x）在[1，+∞）是减函数，又f'（1）=1-2ln2=1-ln4＜0
∴x≥1时，f'（x）＜0
∴x≥1时，f（x）是减函数．
又f（1）=1+1-2=0
∴x≥1时，f（x）≤0
∴x≥1时，x+1-2^x≤0（13分）
∴n∈N^*时，n+1-2ⁿ≤0
∴n∈N^*时，T_n≤a_nS_n（14分）

点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．